Hello, if you have any need, please feel free to consult us, this is my wechat: wx91due

ACTSC 445/845, 

Assignment 1

1. [20pts] The distribution function of a nonnegative random variable X is given by

where Φ(·) is the standard normal distribution function.  You are given that Φ-1 (0.95) = 1.645.

(a) [4pts] Plot the graph for F(x).

(b) [6pts] Calculate VaR85% (X) and VaR95% (X)

(c) [10pts] Calculate ES85% (X) and ES95% (X)

2. [15pts] Let U be a uniform distribution on [0, 1]. Define two random variable Z and W as follows

Let X = aZ + b and Y = aW + b, where a  > 0 and b ∈ R are two constants.  Calculate ESα [X], ESα [Y], and ESα [X + Y] for any 0 < α < 1. Further compare ESα [X] + ESα [Y] and ESα [X + Y] for any 0 < α < 1: which one is larger?

3. [20pts] A random variable X has the distribution function given by

Suppose X1,.., Xn are independent copies of X . Let Mn = max{X1,.., Xn }.

(a) [5pts] Calculate limn→∞ Pr(Mn ≤ x) for any -∞ ≤ x ≤ +∞ .

(b) [10pts] Determine the norming constants cn  > 0 and dn  such that

(c) [5pts] Show that the distribution of random variable X is in the maximum domain of attraction of Hξ for some ξ which you should determine.

4. [10pts] You are given the following fact: For a distribution function F, if its density function f is regularly varying with index α + 1 for some α > 0, i.e.  f  ∈ RV-α -1 , then 

A random variable X has the probability density function given by

Show that the distribution of random variable X is in the maximum domain of attraction of Hξ for some ξ which you should determine.