Hello, if you have any need, please feel free to consult us, this is my wechat: wx91due

Vectors and Optimization Exercises

1. Vectors.   Let  vector a  =  (1, 2)  and  vector b  =  (1, 0).  Plot  these vectors on (x1 , x2 ) space. Calculate vectors c = a + b and d = b — a. Plot these vectors on the same diagram.  Are any of the vectors, a, b, c, d orthogonal to each other? Calculate the scalar products of the corresponding vectors to prove your answer.

2. Vectors.  Let vector a = (1, 2, 3) and vector b = (2, —1, 3). Calculate vectors c = a + b, and d = a — b and scalar products of vectors

a . b

a . c

b . c

3. Vectors and matrices.  Consider vector a = (1, —1) and matrix  . Note that a'  = . This operation is called transpose, the notation is a' , (or aT ) turns a string vector into the column vector and a column vector into the string vector.  Calculate a . B  (this should be a vector of size 1 × 2) and B . a' (this should be a vector of size 2 × 1).  Calculate scalar products a . a'   (this should be a number) and a'  . a (this should be a 2 × 2 matrix).

4. Differentiate the following functions

5. Implicit functions 1. Take the budget equation

p1 x1 + p2 x2  = w

Find the slope of the implicit function x1 (x2).  Show your work.

6.  Optimization 1.  A consumer seeks to maximise her utility by choosing how much of commodities A and B to consume. Let xA  and xB  denote the quantities demanded, and (pA , pB ) the prices. Our consumer has utility

u(xA , xB ) = ln(1 + xA ) + ln(1 + xB ),

and she is subject to the budget constraint

xApA + xBpB  = M

(a) Find the optimal bundle (xA , xB ).

(b) How does the level of utility u(xA , xB ) change when the consumerís income

M changes? Relate this to the value of the Lagrange multiplier.

7.  Optimization 2. You need to enclose a rectangular field with a fence. You have 100 meters of fencing material. Determine the dimensions of the field that will enclose the largest area.  Set this up as a constrained optimization problem and approach this with Lagrangean. Hints: use all the information to determine the objective function and the constraint.  It may help to draw.  Recall:  What is the area of a rectangle?  Call the short side x and the long one y. What is the perimeter of such rectangle?

8.  Optimization with inequality constraints. Find

max f (x, y)   =   xy

s.to. x + y2   ≤   2

x   ≥   0, y ≥ 0

Approach this formally via Lagrangean. Write all the Karush-Kuhn-Tucker condi- tions. Argue that the non-negativity constraints will not bind and that the x+y2  ≤ 2 constraint will hold as equality. Solve the resulting system of equations.