MATH 131B - Introduction to Real Variables

1. For each of the following conditions, find a continuous function f : (R, dstd ) → (R, dstd ) that satisfies it [and explain why] or show that such a function cannot exist.

(a)  (3 points)  f −1([−1, 1]) is not compact

(b)  (3 points)  f −1(( −∞ , 1)) is compact

(c)  (3 points)  f ([0, 3)) = {−1, 1}

2. Let f : (R, dstd ) → (R, dstd ) be a continuous function that satisfies f (r) = r2  for every r ∈ Q.

(a)  (3 points)  Show that f (√2) = 2

(b)  (3 points)  Write down a function g  :  (R, ddisc )  → (R, dstd )  that  is continuous and satisfies g(r) = r2  for every r ∈ Q but g (√2) ≠ 2. [Be sure to explain why it is continuous!]