Hello, if you have any need, please feel free to consult us, this is my wechat: wx91due

Game Theory Autumn 2024

Problem Sheet 1

Penalties for late submissions:

• Penalty 5% for submissions by 17:00 on Thursday,

• Penalty 10% for submissions by 17:00 on Friday (assignment will be closed at this time),

• 100% thereafter.

Note that extenuating circumstances (ECs) cannot grant extensions but can remove late penalties.  ECs can allow at most two sheets of the whole module (in our case, GTMDM) to be waived.

The questions follow on the next page in the PDF file.

Please scroll down in the HTML file for the questions.

Game Theory questions:

1. [LH,LM] Consider the following  parametric matrix game:

where p is an arbitrary integer parameter.

(i)  For each value of p check whether the game has a solution in pure strategies and, if this is the case,  write out all such solutions. Write your arguments.                                                                           [15]

(ii)  For p =  1, find the gain-floor v 1(P S)(C) and  loss-ceiling v2(P S)(C) of C in pure strategies.   Is it true that v(C) > 0, where v(C) denotes the value of the game in mixed strategies?  Give your argument using the value of v2(P S)(C).      [5]

(iii)  Setting p  = 0 solve the  matrix game  C  by dual simplex  method  in  mixed  strategies  (show your working).  Solving a matrix game means:  finding an optimal  mixed strategy of Player I, an optimal mixed strategy of Player II and the value of the game. [30]

Hint: Ifv(C) > 0 does not hold, then before applying the dual simplex method it is necessary to add a big enough positive constant to C to obtain a matrix game whose value is guaranteed to be positive.

(iv) (Optional,  unmarked) Setting p = 0 solve the matrix game C using the graphical method and explicit formulas for 2 × 2 matrix games.  Compare the result with that of part (iii).

2. [LH only] Consider the following matrix game:

(i)  Suppose that x*  is an arbitrary optimal strategy of Player I and y*  is an arbitrary optimal strategy of  Player  II.  Using  appropriate  dominance  relations  on  A,  find  two  components  of  x*   and  two components of y*  that are equal to 0.  Show your working. [16]

(ii)  Using the graphical method and explicit formulas for 2 × 2 matrix games (as written in Lecture Notes or below) solve the matrix game

in mixed strategies.  Show your working.                                                                                                [26]

(iii) (Optional, unmarked) Solve  the  same  matrix  game  by dual simplex  method and compare the

results.

(iv)  Using your answer to (ii) write  out an optimal  mixed strategy  of  Player  I  and  an optimal  mixed strategy of Player II for the matrix game given by A.  Are these optimal strategies  unique?  Give a short explanation.                                        [8]

3. [LM only] Consider the following matrix game:

(i)  Suppose that x*   is an arbitrary optimal  mixed strategy of Player  I and y*  is an arbitrary optimal mixed strategy of Player II. Using appropriate dominance relations on A, find two components of x* and two components of y*  that are equal to 0.  Show your working.                                               [16]

(ii)  Using the graphical  method find the value and all optimal mixed strategies of Player I and Player II for the following matrix game

Show your working and your arguments.

Hint: You may be in doubt how to apply the  graphical  method in this case, as the  examples presented at the lectures always gave a unique pair of optimal strategies (which is not the case for this problem). To improve your understanding consult Lecture Notes, especially Section 3.2.3 about the graphical method for two columns. [30]

(iii) (Optional, unmarked) Solve  the  same  matrix  game by dual simplex  method. How  does  this compare with your answer to part (ii)?

(iv)  Using  your answer to  (ii) write out all optimal strategies of  Player  I and all optimal strategies of Player II for the matrix game given by A (no explanation is necessary).                                            [4]

Explicit formulas for optimal strategies and value of a 2 × 2 matrix game C are to be used only if C does not have solution in pure strategies.  In this case, explicit formulas for the optimal strategies of such game denoted by x*  and y*  and the value of the game v(C) are:

Here 1 is the column vector consisting of two components both of which equal  1, and we have: