Hello, if you have any need, please feel free to consult us, this is my wechat: wx91due

Stats 510

Homework 1

1.  (Sets and probabilities) Let the sample space S be the real line.  Suppose that a sigma algebra B contains all half-closed intervals of the form (−∞, a] where a is a rational number.  (Note: (−∞, a] = {x|x ≤ a}). Show that the following sets are elements of B

(i)  all singleton sets {a} where a is a rational number.

(ii)  all singleton sets {a} where a is a real number.

(iii)  all intervals of the form (a,b), [a,b), and [a,b], where a and b are rational numbers.

(iv)  all intervals of the form (a,b), [a,b), and [a,b], where a and b are real numbers.

(v)  Give an example of an element of B that is neither empty set, nor S, nor any of the forms mentioned above.

(Hint:  This is done by verifying that the set in question can be obtained from known elements of B via countably many set operations. Use the fact that any real number can be constructed as the limit of a sequence of rational numbers).

2.  (Optional) Let A1  ⊃ A2  ... ⊃ An  ⊃ be a decreasing sequence of subsets in a sigma algebra B associated

with a sample space S. The limit of this sequence of subsets is defined as

Let P be a probability function on B. Use the axioms of probability to show that

(i) If A is empty set, then P(An ) → 0 as n tends to infinity.

(ii) In general, show that P(An ) decreases to a limit that is P(A). We write P(An ) ↓ P(A).

3.  (Counting) Do problems 1.20, 1.23, 1.24.

4.    (i)  Suppose  that  we  had  a  collection  of five numbers,  {1, 2, 7, 8, 14}.   What  is  the probability of drawing, with replacement, the unordered sample {2, 7, 7, 8, 14}?  (Hint: Look at (ii)).

(ii) Verify that an unordered sample of size k, from m different numbers repeated k1 , k2,..., km  times, where k1 + k2 + ... + km  = k, has  ordered components.

(iii)  Use the result of the previous part to establish the identity

5.  (Conditional probabilities) Do problems 1.36, 1.37, 1.38.