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4.Strike   a Chord (4 points)

Alex built a bot that helps you learn to play the guitar.It listens to you play a melody and compares it to a target melody.Each melody maps to a vector.The target melody you are learning maps to  [1  -11  -1]^

You  play"melody  A"that  maps  to   [-111   -1]"and“melody   B”that  maps  to   |

A smaller angle between two melodies means they are closer.  Does  “melody A"or  “melody B”have  a smaller angle with the target melody?Justify your response.

Table 4.1:Helpful cosine values.                                                                                                               

(b)(4 points)In order to detect the change in capacitance,Youbin connects a time-varying current source l,(t)to the electrodes with effective capicitanceCeg,as shown in Figure 5.2. 

Figure   5.2

He knows that when landing,Ceq=1μF and I₃(t)outputs a square wave shown in Figure 5.3. 

Figure   5.3

Assuming Vc(0)=0V,plot Vc(t)from t=0ms tot =2.5ms in the  space provided below.Clearly label     the     minimum     and     maximum     values.

(c)(4 points)Youbin finds that the difference in peak voltages of Vc is small when the capacitance changes. He decides to amplify Vc by a gain of 5 in order to better distinguish the peak voltages.He designs the circuit shown in Figure 5.4.You may assume the op-amp is ideal. Choose values for resistors R₁ and R₂such that Vout  =5Vc.Show  your  work.

Figure  5.4:Amplifier  circuit

6.Let's     Go,Mooncow!(28     points)

UC  Berkeley,in  preparation  for  their  new  Space  Exploration  Research Center at NASA Ames,has tasked you with understanding the space travels of a newly discovered creature named “Mooncow” .

(Despite   his   name,Mooncow   bears   a   surprisingly   strong   resemblance to what we call "Monkeys"on Earth). 

A scientist's depiction of “Mooncow”

(f)(4 points)We have lost track of Mooncow and are searching the galaxy for him!Anish is located on Plmet Xal ,amd he ditets Moncow is 4 uit awaySshiyai bcatdon PhnaYa   ,and she detects Mooncow is 5 units away.They know Mooncow always stays at least 2 units away from the sun.What coordinates is Mooncow  at?   Show your work.Your solution must be justified by calculations,but you may use the graph to help you. 

Table  6.2

We  use  the   equation  F≈ma  to  relate  these  variables.Set  up   a   least  squares  problem  to   estimate  m. Compute  the  least  squares  solution  of  m.Show   your  work.

7.Caterwauls!(18    points)

(a)(4 points)Thomas'cat Luna frequently wanders off.In order to keep track of her,Thomas is building

a tracking system.He installs a tracking collar that transmits a distinct signal I shown in Figure 7.1.

In order to test his system he records the signal r,as well as the cross-correlation corr;(1).Unfor- tunately,he  realizes  that  has  been  corrupted  in  some  places,as  shown  in  Figure  7.2.The  cross- correlation corr-(1)is given in Figure 7.3. 

Figure 7.3:Cross-correlation corrf(1)

Recover the missing entriesF[1]and -[2].Show your work.                                                                                                                 

(b)(3   points)Luna   has   wandered    off!To    locate    her,Thomas   records   the    signal    $transmitted    by    Luna's

collar   and   computes   corr;(7)shown   in   Figure   7.4.

Figure   7.4:Cross-correlation   corr;(i)

Assume  that  the  x-axis  ticks  correspond  to  a  shift  of  1×10-6  s  and  the  transmissions  travelat  3×10⁸m/s. Compute  the  distance  between  Thomas   and  Luna.Show  your  work.

(c)(4 points)To prevent Luna from wandering too far,Thomas wants to design a circuit that plays a recall sound through a speaker.The volume of the speaker should increase proportionally to Luna's distance from him.Thomas already has a converter circuit that converts Luna's distance to a voltage Vdaist.The converter circuit and speaker can be represented by the Thevenin equivalents shown in Figures 7.5 and 7.6 respectively

Figure 7.5:Thevenin equivalent of converter 

Figure 7.6:Thevenin equivalent of speaker

Thomas first connects the two circuits together directly,shown in Figure 7.7. 

Figure  7.7:Direct  connection

Given  that   OV≤Vaist≤6V,what   is   the  maximum  power   dissipated  by   the   speaker?

(d)(4points)Thomas realizes that the speaker volume is too low when directly connected to the converter. He instead wants to connect the circuits such that Vspeaker =Vaist.He only has access to a single ideal  op-amp  and  no  other  components. Complete  the  circuit  below  by  connecting  the  elements  given.  No element terminal should be left unconnected.

(e)(3 points)Thomas needs to build a resistor out of resistive cubes which have a length,width,and height  of  5×10-³m  and  a  resistivity  of  8×10-32m.He  plans  to  attach  the  cubes  in  a  line  into  one  long resistor.How many cubes does he need to make a 40Q resistor?Justify your answer.

8.Aficiona-dough (25 points)

Jiarui owns two pizza shops:Slice and Cheddarboard.He models the movement of his  customers each week.Each timestep represents a week.

(a)(4 points)Each week 40%of Slice's customers move to Cheddarboard to buy pizza,while the re- maining customers stay at Slice.25%of Cheddarboard customers move to Slice,while the remainder stay at Cheddarboard.Draw a state transition diagram modeling the flow of customers between Jiarui's restaurants.                                                                                                         

(b)(4 points)Jiarui observes that the system follows a new state transition diagram (due to a change in his menu),which is given in Figure 8.1.

Figure 8.1:New state transition diagram of the system.

Write the state transition matrix P corresponding to the Figure 8.1,such that c[t+1]=P·e[t]

What is the nullspace of P? Justify your answer.                                                                                                        

(c)(6  points)Jiarui  opens  a  third  pizza  shop:Asparagus.Initially,he  has  a  total  of  120  customers.The state transition matrix of the system describing the flow of customers between the three restaurants is:

Find the number of customers in each shop at steady state.Show your work.

(d)(6  points)Jiarui  again  observes  a  change  in  his  system,and  finds  the  new  state  transition  matrix  is

(a)(7 points)Consider matrices A∈RnXn and B∈Rm×n.Assume that A is invertible and B has a non- trivial nullspace.Prove that BA has a nontrivial nullspace. 

(b)(8 points)LetA1,A₂,…,A,be k matrices in Rn×".Assume all A;have V∈R"as an eigenvector,with corresponding  eigenvalue  A  for  i=1,2,…,k.Assume  that 1,and the matrix is  invertible,where I is the identity matrix in Rn×n.Prove that v is an eigenvector of (   What is the corresponding eigenvalue? Show your work.

10.Orthonormal Least Squares (13 points)

(a)(5 points)Suppose we are given the matrix where  |lai||=|la₂||=1  and  di  is  orthogonal  to  dz,i.e.,đi⊥dz.Show that di and dz are linearly independent

Hint:Consider a proof by contradiction(assume ai and az are linearly dependent,i.e.,ai =βaz forβ∈R).                                                                                                                         

(b)(8  points)Now  suppose  that  the  matrix  A   ∈RnXn  is  such  that where   ||ai||=||a₂||…=|la,|=1   and   ai,…,a,are   pairwise   mutually   orthogonal,i.e.d;⊥d;for   all i,j=1,…,nandi≠j.For b∈R",we are given(d,b)=c;fori=1,…,n.Find the projection of b onto Col(A),where   Col(A)represents   the   column   space   of  A.Write   your   answer   in   terms   of  ai and  ci.Show  your  work.

Hint:The projection ofbonto Col(A)is given by At where t isthe least squares solution ofAx=b.

11.Gold  Code  Inner  Product  Circuits  (27  points)

Recall that Gold codes are sequences with elements equal to±1.We often need to compare the similarity of Gold codes by finding their inner product.In this problem,we will try to design a circuit that can compute inner products of Gold codes.

(a)(2points)We are given two Gold codes 5i=[1 -1 -1 -111]'and=[11 -1 -11 -1]¹
each of length 6.The codes are represented by time-varying voltage signals V₁(t),Vz(l)that map the ±1 elements to±1V symbols of length 1ms as shown in Figure 11.1.

Figure  11.1:Time-varying  voltage  signals  V₁(t),Vz(t)that  represent  si,52  respectively

Compute the inner product  (5i,s2).Show  your  work.

(b)(8 points)For Gold code  signals,we notice that the multiplication  of±1  elements  is  equivalent to checking if the two elements are equal.In the inner product circuit shown in Figure 11.2,an inverting summer and a match detect circuit are used to check when V₁(t)=V2(t).The results from the match detect circuit are then integrated across the length of the signal to produce Vip which represents the final inner product value.

Figure 11.2:Block diagram of inner product circuit

In this part,we wish to design the inverting summer block.We have access to a single ideal op-amp (already drawn)and up to three resistors for which we can choose values.No other components are available.Design a circuit such that Vum=-V₁-Vz    Label the resistances for all resistors used.

(c)(5  points)The  match   detect  circuit  wants  to  use  Vsum=-Vi-Vz  to   determine  when  Vi  =V2.When Vum=2V,we  know  that  Vi  and  Vz  match  with  value-1V.When  Vum=-2V,we  know  that  Vr  and V₂match with value 1 V.The match detect circuit can be implemented using comparators with outputs Vm+and Vm-as shown in Figure 11.4. 

Choose values for VRef+and VRef-such that Vsum,Vm+,Vm- satisfy the table in Figure  11.3.Justify your answer.                                                                                                 

(d)(7 points)In order to compute the inner product,we can use the circuit in Figure  11.5 to integrate the match signals.You may assume the op-amp is ideal.

Figure 11.6

Figure 11.5:Inverting integrator circuit

The waveforms for Vm+(1)and Vm-(t)are given in Figure 11.6.

·Plot Ic(r)from t=0ms tot=6ms in the graph provided.Label the units and current values in your graph.

·Compute Vp(6ms).Assume that Vp(0)=0V.

Show your work.

(e)(5 points)As we increase the signal length,the maximum/minimum value of Vip also increases.In order to keep the output voltage to a manageable level,we decide to switch out the 1μF capacitor for a variable capacitor shown in Figure 11.7. 

Figure 11.7:Variable capacitor

The capacitor has square plates with length and width l with a separation of  d.Inside,we  have  a dielectric material withpermittivity ε=5eo that we can slide to change the total capacitance between the plates.x measures the  displacement  of the  dielectric material.Assuming O≤x≤l,find the total capacitance C in terms of l,d,x,eo.You do not need to reduce your answer.Show your work. 

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