Question 1

Consider the following MA(2) process:

zt  = ut + Q1ut-1 + Q2ut-2 ,

where ut  is a zero-mean white noise process with variance σ 2 .

(a) Calculate the conditional and unconditional means of zt , that is, Et  [zt+1] and E [zt]. [20 marks]

(b) Calculate the conditional and unconditional variances of zt , that is,  V art [zt+1] and Var [zt]. [30 marks]

(c) Derive the autocorrelation function of this process for all lags as functions of the param- eters Q1  and Q2 . [50 marks]

Question 2

(a) What are the two main problems in multivariate volatility modelling?  Explain them briefly. [25 marks]

(b) Describe Bollerslev (1990)’s constant conditional correlation (CCC) model. [25 marks]

(c) Describe what tests you can use to test for volatility clustering. [25 marks]

(d) What information criteria can be used (as measures of performance) that penalise models for using a larger number of parameters?  Describe their link with the log-likelihood function and the number of parameters. [25 marks]

Question 3

(a) Describe how one can determine Value-at-Risk (VaR) using models based on the normal distribution, and critically assess such procedure. [60 marks]

(b) Consider a position consisting of a $20,000 investment in asset X and a $20,000 in- vestment in asset Y. Assume that returns on these two assets are i.i.d.  normal (Gaussian) with mean zero, that the daily volatilities of both assets are 3%, and that the correlation coefficient between their returns is 0.4. What is the 10-day VaR at the Q = 1% critical level for the portfolio? [40 marks]

Question 4

(a) What does serial correlation mean? Explain. [10 marks]

(b) Suppose you have a fair coin, that is, the probability of seeing a ‘head’ is always equal to one-half, and coin tosses are independent of each other.  Let xt   take the value -1 or 1 depending on whether the tth  coin toss came up heads or tails.

Consider now a process yt  that is given by

yt  = xt + xt-1 .

Calculate the autocorrelations of the process yt. [30 marks]

(c) Describe the three types of market efficiency as defined by Roberts (1967). [30 marks]

(d) Does weak-form market efficiency imply strong-form market efficiency? What about the reverse? Explain. [10 marks]

(e) Under the Efficient Market Hypothesis (EMH), what should be the correlation coefficient between stock returns for two non-overlapping time periods?  Can the process yt   from part (b) describe a return process under EMH? Explain. [20 marks]